Měření účiníku a harmonického obsahu proudu

Článek se zabývá problematikou přenosu energie v systémech s nesinusovými proudy. Průměrný výkon, efektivní proud a napětí, účiník jsou vyjádřeny pomocí Fourierovy řady. V poslední části je uvedeno schéma elektrického obvodu, které lze použít k rychlému a snadnému vyhodnocení harmonického složení proudu a účiníku.

Teoretická analýza

Uvažujme přenos energie ze zdroje do zátěže řezem S, jak je znázorněno na Obr. 1.

Obr. 1. Přenos energie ze zdroje na zátěž

V takové síti je průběh napětí v(t) (ne nutně sinusový) dán zdrojem a průběh proudu i(t) je určen odezvou zátěže. V obecnějším případě, kdy je impedance zdroje poměrně významná, závisí v(t) i i(t) na charakteristice zátěže.

Jestliže v ( t ) ai ( t ) jsou periodické veličiny, pak je lze vyjádřit pomocí Fourierových řad:

Zde je doba oscilací síťového napětí definována jako T = 2π/ω. Obecně platí, že okamžitý výkon p ( t ) = v ( t ) × i ( t ) může nabývat kladných i záporných hodnot v různých bodech během období. Mezi zdrojem a zátěží tedy proudí energie oběma směry. Je důležité určit energii přenesenou do zátěže během jednoho období:

Tento výraz definuje průměrný výkon za období:

Prozkoumejme vztah mezi harmonickým složením proudu a napětí a průměrným výkonem. Dosadíme Fourierovu řadu (1) do vzorce (3):

K vyhodnocení tohoto integrálu je nutné násobit nekonečné řady. Lze ukázat, že součiny členů řady při různých frekvencích se rovnají 0, zatímco součiny proudů a napětí při stejných frekvencích se rovnají:

Průměrný výkon tedy bude:

Podle získaného vzorce je užitečný výkon přenášen do zátěže pouze tehdy, pokud jsou v proudové a napěťové řadě přítomny harmonické stejné frekvence. Na Obr. 2 ukazuje názorné příklady výpočtu okamžitého výkonu a účinnosti přenosu energie do zátěže.

Obr. 2. Okamžitý výkon při různých a stejných hodnotách frekvence proudu a napětí

V prvním případě napětí a proud obsahují různé harmonické. Zobrazený graf okamžitého výkonu nabývá kladných i záporných hodnot: nejprve se energie přenese do zátěže a poté se vrátí zpět do sítě. Integrál tohoto výkonu za periodu se rovná nule, protože množství energie přenesené v obou směrech je stejné. V důsledku toho je energie proudící v takové síti čistě reaktivní a na zátěži není vykonávána žádná užitečná práce.

Ve druhém případě proud a napětí obsahují stejnou harmonickou a jsou ve fázi. Okamžitý výkon nabývá pouze kladných a nulových hodnot, jeho integrál je striktně větší než nula, proto je veškerá energie spotřebována v zátěži a výkon je čistě aktivní. Jalový výkon ve střídavých sítích je tedy generován nejen fázovým posunem, ale také rozdílem v harmonickém složení proudu a napětí.

Skutečný obvod usměrňovače

Uvažujme nyní fyzikální procesy probíhající v běžném můstkovém usměrňovači s velkokapacitním kondenzátorem a zátěží (obr. 3).

Obr. 3. Usměrňovací obvod

Navzdory skutečnosti, že usměrňovač je téměř nejjednodušším prvkem napájecího obvodu, fyzikální procesy probíhající v jeho nelineárních prvcích – diodách, vyžadují vysvětlení. Na Obr. 4 ukazuje grafy proudu a napětí odebíraného ze sítě konvenčním zatíženým usměrňovačem s kondenzátorem značné kapacity. V tomto případě bylo vstupní napětí 220 V, byl použit elektrolytický kondenzátor 47 μF a zatěžovací rezistor 6 kOhm.

Obr. 4. Proudy a napětí v usměrňovači:
1 — vstupní napětí;
2 — vstupní proud;
3 – výstupní napětí

V takovém obvodu je proud (2) ze sítě spotřebováván v krátkých impulsech v okamžicích, kdy je okamžitá hodnota napětí (1) v napájecí síti maximální. Po zbytek času je zátěž napájena napětím uloženým v kondenzátoru (3) a napětí na něm postupně klesá, až okamžitá hodnota síťového napětí převýší napětí zbývající na kondenzátoru. V tomto okamžiku se rozepnou diody usměrňovacího můstku a dojde ke krátkému rázu nabíjecího proudu. Právě tento režim činnosti usměrňovače generuje nežádoucí jalový výkon, který bez provádění užitečné práce ohřívá napájecí sítě.

Jak je známo, pulzní signály mají ve svém spektru nekonečný počet harmonických. Většinu z nich však lze zanedbat, protože jejich amplituda je příliš malá. Zároveň má třetí a pátá harmonická proudu v takovém obvodu amplitudu srovnatelnou s amplitudou hlavní harmonické (50 Hz). Spektrum proudu v usměrňovači je na Obr. 5.

Obr. 5. Harmonický obsah vstupního proudu usměrňovače

Jak již bylo ukázáno výše, v tomto případě se energie přenáší do zátěže pouze při základní harmonické 50 Hz (ta, která je přítomna ve formě napájecího napětí), a zbytek tvoří pouze jalový výkon, který nevykonává práci. Zejména 3., 5. a 7. harmonická mají velký význam. Pro hodnocení provozu zdroje ve střídavých sítích se zavádí tzv. účiník, který je definován jako poměr činného výkonu k celkovému výkonu. Zdánlivý výkon je součtem činného a jalového výkonu. I když v tomto případě se zdánlivý výkon nazývá součin středních hodnot proudu a napětí naměřených v síti s danou zátěží. Proto má smysl připomenout si matematické definice účiníku a středního kvadratického proudu z hlediska Fourierovy řady.

RMS hodnoty a účiník

Střední kvadratická hodnota (rms) periodické vlny v ( t ) s periodou T je vyjádřena následujícím vzorcem:

Tento vzorec lze přepsat z hlediska Fourierovy řady. Dosazením rovnice (1) do rovnice (6) a zjednodušením dostaneme:

Analýza výrazů (7) nám umožňuje dojít k závěru, že přítomnost harmonických v proudu nebo napětí vždy zvyšuje jeho střední kvadraturu. A energie se přenáší do zátěže pouze u těch harmonických, které jsou přítomny v obou řadách. Proto měření středních hodnot napětí a proudu a výpočet spotřeby energie (VA) na jejich základě nám umožňuje získat plnou hodnotu výkonu (činný + jalový).

Účiník (8) je tedy hodnota, která ukazuje, jak efektivně je energie přenášena do zátěže. Nebo jinými slovy, jaká část energie pocházející ze sítě se používá pro zamýšlený účel a co se vynakládá pouze na ohřev vodičů.

V závislosti na typu zátěže lze účinnost vyjádřit buď jako fázový posun mezi proudem a napětím (cosj), nebo jako poměr výkonu základní harmonické proudu k celkovému výkonu všech ostatních harmonických. V prvním případě je použit korekční kondenzátor pro zvýšení účiníku a ve druhém případě LC filtr nebo korektor činného výkonu. K odhadu účiníku je zapotřebí analyzátor proudového spektra.

Měření velikosti harmonických proudu

Uvažujme praktické zkušenosti s prací se zařízením, které obsahuje usměrňovač (zátěž 15 W, kapacita 47 μF) a autorem vyvinutý korektor účiníku, jehož popis je nad rámec tohoto článku. Je potřeba hodnotit kvalitu práce korektora. Pro posouzení účiníku a harmonického obsahu proudu odebíraného zařízením se používají složitá a drahá zařízení. Specializované elektrolaboratoře se nenacházejí všude a také si účtují nemalé poplatky za analýzu zařízení třetí strany. Připojení osciloskopu na střídavý zdroj také není úplně pohodlné. Proto by bylo dobré mít na svém pracovišti takové vybavení, nebude vyžadovat značné finanční prostředky. K tomuto účelu se navrhuje použít konvenční digitální osciloskop s funkcí Fourierovy transformace a s ní nástavcem.

Set-top box se skládá z mikrokontroléru, displeje a mikroobvodu ACS712 od společnosti Allegro Microsystems. Hlavní funkcí mikroobvodu je izolovat (do 2 kV) měřicí zařízení od AC sítě. Čip obsahuje měděný vodič, Hallův senzor a některé elektronické obvody v jediném pouzdru SO-8. Měděný vodič je zapojen do série s testovaným zařízením. Hallův senzor registruje proud protékající vodičem. Výstupním signálem mikroobvodu je napětí od 1,5 do 3,5 V. V tomto případě odpovídá 1,5 V proudu –5 A, 2,5 V proudu 0 A a 3,5 V proudu +5 A, dle grafu na Obr. 6a. ACS712 poskytuje galvanické oddělení napájecích a měřicích obvodů, takže k výstupu mikroobvodu můžete bezpečně připojit osciloskop pro záznam proudu. Schopnosti mikroobvodu navíc umožňují záznam proudu s frekvencí až 80 kHz. Existují modifikace s rozšířenými proudovými limity – 20 a 30 A. Schéma zapojení mikroobvodu je znázorněno na Obr. 6b.

Obr. 6. Mikroobvod ACS712:
a) přenosová charakteristika;
b) schéma zapojení

Na základě ACS712 a mikrokontroléru ATxmega můžete sestavit zařízení, které měří hodnotu činného výkonu a účiníku. Schéma (obr. 7) ukazuje zapojení napájecí sítě a zátěže. Mikroobvod DA1 má výstupní napětí, které je úměrné napětí sítě. Toto napětí je přivedeno do prvního ADC v mikrokontroléru. Druhý ADC přijímá signál z mikroobvodu DA2, úměrný proudu spotřebovanému zátěží. Během periody síťového napětí mikrokontrolér několikrát vynásobí okamžité hodnoty proudu a napětí a následně integruje výsledné produkty v průběhu periody podle vzorce (3). Výsledek se zobrazí na horním displeji. Účiník se vypočítá podle vzorců (7) a (8) a zobrazí se na spodním displeji. Můžete také připojit osciloskop k bodu S1 a zobrazit harmonické složení proudu pomocí funkce spektrálního analyzátoru osciloskopu. Displej a mikrokontrolér lze připojit dle uvážení vývojáře. Autor použil LED displeje BA56‑SRWA, ale poslouží i LCD.

Obr. 7. Příklad použití mikroobvodu ACS712

Pokud není možné mikrokontrolér naprogramovat, pak lze pro výpočet účiníku použít pouze analogovou část set-top boxu (mikroobvody DA1, DA2) a osciloskop s funkcí spektrální analýzy. Pomocí tohoto nástavce byla provedena měření velikosti harmonických proudu v zařízení s usměrňovačem a korektorem účiníku.

Obr. 8. Výsledky testů:
a) vstupní proud;
b) harmonické složení proudu

Na Obr. 8a ukazuje proud zařízení a na Obr. 8b je spektrální charakteristika tohoto proudu. Získané výsledky nám umožňují posoudit kvalitu obvodu: jak je vidět na Obr. 8b, rozdíl v amplitudě 1. a 3. harmonické je 24 dB, neboli jedna je 8krát větší než druhá. Tento výsledek je znatelně lepší než ten, který je znázorněn na obr. 5. Je nutné vzít v úvahu, že osciloskop v tomto příkladu ukazuje amplitudu na logaritmické stupnici a na Obr. 5 ukazuje lineární amplitudu. Účiník se tak bude rovnat poměru první harmonické (užitný nebo činný výkon) k součtu první, třetí a páté harmonické (zdánlivý výkon Pomocí jednoduchých pravidel aritmetiky zjistíme, že pro toto zařízení je k = 1/1,125 = 0.88).